纸牌的证明

题意:

一副纸牌，编号从$1 \sim 2n$，将其分成两堆$1 \sim n$和$ n+1 \sim 2n$，然后交叉得到$n+1,1,n+2,2,\ldots,2n,n$。
依次洗牌，最终使得纸牌回到初始状态的次数。

证明:

$$令f(x) = 位置x下一轮的位置$$ $$\begin{array}{rlcl} \forall i \in \{1,2,\ldots,2n\} , & f(i) & = & \left\{\begin{array}{ccl}2i&\mbox{when}&i \le n \\ 2i-(2n+1) & \mbox{when} & i \gt n\end{array}\right. \end{array}$$ $$\begin{array}{rccrcl} \Rightarrow & f(i) & = & 2i &\mod & 2n+1 \\ \Rightarrow & f^k(i) & = & i\cdot2^k &\mod &2n+1 \\ \Rightarrow & i\cdot2^k & \equiv & i &\mod &2n+1 \\ \Rightarrow & i\cdot(2^k-1) & \equiv & 0 &\mod &2n+1 \\ \Rightarrow & 2^k - 1 & \equiv & 0 &\mod &2n+1 \\ \Rightarrow & k \mid \varphi(2n+1) \\ \end{array}$$